[이산수학] 수 체계 기호 조건 퍼셉트론

📌 들어가며

이번 글에서는 수 체계·데이터 인코딩·수학 기호·필요/충분조건, 그리고 인공신경망의 시초인 퍼셉트론을 다룬다. 수학이 인공지능 이론과 결합되니 복잡하지만 그만큼 재미있다.

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1. 수 체계

수	정의
자연수	셀 때·순서 매길 때 (1, 2, 3…)
정수	자연수 + 0 + 음수
유리수	분수(정수/정수)로 나타낼 수 있는 수
무리수	비율(ratio)로 나타낼 수 없는 수 (e, π)

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2. 데이터 인코딩 — 숫자로 표현하기

AI 분석을 위해서는 모든 데이터를 숫자로 표현해야 한다. 문자로 된 범주형 데이터(주 손잡이 등)를 숫자로 변환한다.

# 정수 변환
df['Age'] = df['Age'].astype('Float32').astype('Int16')

# OrdinalEncoder: 범주를 구분 숫자로
from sklearn.preprocessing import OrdinalEncoder
ord_enc = OrdinalEncoder()
ord_enc.fit(df[['Hand']])
ord_enc.transform(df[['Hand']])

⚠️ Ordinal 인코딩은 “어떤 숫자가 더 크다”는 잘못된 순서 정보를 줄 수 있다. 그래서 원핫 인코딩(One-Hot)으로 해당되는 곳에만 1을 표시하기도 한다.

from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder
oh_enc = OneHotEncoder(sparse=False)
oh_enc.fit(df[["Hand"]])
oh_enc.transform(df[["Hand"]])

인코딩	특징
Ordinal	범주를 정수로 (순서 정보 부여)
One-Hot	해당 자리에만 1, 나머지 0 (순서 정보 없음)

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3. 수학 기호

기호	의미
∑ (시그마)	수열의 첫째 항부터 n항까지의 합
∏ (프로덕트)	순서대로 모두 곱함

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4. 필요조건과 충분조건

💡 갑자기 왜 필요/충분조건? 나중에 손실 함수(loss function)를 미분해 로컬 미니멈을 찾을 때 쓰인다. 도함수 f'(x) = 0이 최솟값의 최소한의 조건(필요조건)이 되는 것이다.

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5. 퍼셉트론 (Perceptron)

퍼셉트론: 인공신경망의 한 종류. 1957년 프랑크 로젠블라트가 고안했다. 논리 게이트(부울 대수의 회로 기본 단위)를 활용한다.

동작 원리:

입력 x, y  ──(가중치 곱)──►  합산 + 상수  ──►  시그모이드  ──►  분류
                                              (양수→1, 0 이하→0)

💡 변수와 가중치를 곱해 더하고, 그 값을 시그모이드에 넣어 양수면 1, 0 이하면 0으로 분류한다. 예를 들어 AND 로직은 x, y 둘 다 1이어야 합이 양수가 되도록 가중치·상수를 설정한다.

XOR 문제 — 다층 퍼셉트론

⚠️ XOR 논리는 단층 퍼셉트론으로 구현할 수 없어, 제1차 인공지능의 겨울을 불러왔다. 해결책은 층을 하나 더 추가하는 것이다. NAND와 OR을 먼저 연산한 뒤, 그 결과를 다시 AND로 연결하면 XOR이 나온다.

x, y ─┬─► NAND ─┐
      │         ├─► AND ─► XOR
      └─► OR ────┘

💡 이것이 바로 다층 신경망의 아이디어다. 단순한 층으로 못 풀던 문제를, 층을 쌓아 해결한다.

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📝 정리

수 체계·퍼셉트론
├─ 수 체계    자연수⊂정수⊂유리수, 무리수(e,π)
├─ 인코딩     Ordinal / One-Hot (문자→숫자)
├─ 기호       ∑(합) · ∏(곱)
├─ 조건       필요조건 = 최소 조건 (f'(x)=0)
└─ 퍼셉트론    가중합 → 시그모이드 → 분류
              XOR는 다층으로 (NAND+OR→AND)

개념	한 줄 정의
One-Hot 인코딩	해당 자리만 1로 표현
퍼셉트론	가중합을 활성함수로 분류하는 뉴런
XOR 문제	단층 불가 → 다층으로 해결

퍼셉트론은 딥러닝의 뿌리다. 특히 XOR 문제를 다층으로 해결하는 아이디어가 오늘날 심층 신경망으로 이어졌다는 점이, 이산수학이 AI와 맞닿는 흥미로운 지점이다.