[이산수학] 함수 수열 관계

📌 들어가며

이번 글에서는 수학의 꽃인 함수·수열·관계를 정리한다.

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1. 함수 (f: A → B)

함수: 집합 A의 모든 원소에 대해 집합 B의 원소가 하나씩 대응되는 관계. f: A → B(“A에서 B로 가는 함수 f”). A의 각 원소는 한 번만 대응해야 한다(두 갈래 금지).

용어	정의	예
정의역	f가 정의된 집합 A	{1, 2, 3}
공역	B 전체	{a, b, c}
치역	B 중 실제 대응된 것	{a, b}

함수의 종류:

종류	정의
일대일(단사)	정의역의 원소들이 서로 다른 공역 원소에 대응
전사	공역 = 치역 (남는 공역 원소 없음)
일대일 대응(전단사)	일대일 + 전사

합성함수

f: A → B, g: B → C를 연속 적용한 함수 g ∘ f: A → C. (g ∘ f)(a) = g(f(a)).

합성함수 성질 (일부):

조건	결과
f, g가 일대일	g∘f도 일대일
f, g가 전사	g∘f도 전사
g∘f가 일대일	f도 일대일
g∘f가 전사	g도 전사

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2. 수열

수열: 함수 중에서 정의역이 자연수의 부분집합인 함수. s(n)을 sₙ로, n을 index라 한다. 표기: {sₙ}.

• 유한수열: 정의역이 유한
• 무한수열: 정의역이 무한
• 부분수열: index 크기 순서를 유지한 부분집합의 수열

💡 수학적 표기는 어려워 보이지만, 우리가 아는 등차·등비·피보나치 수열이 모두 여기 해당한다.

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3. 관계

개념	정의
순서쌍	(a, b), 순서를 가진 쌍
곱집합(A×B)	모든 순서쌍의 집합, \|A×B\| = \|A\|×\|B\|
이항 관계 R	A×B의 부분집합, (a,b)∈R이면 a R b

💡 함수는 관계의 특수 형태다. 정의역이 A 전체이고, 각 a에 대해 a R b인 b가 단 하나만 존재하는 관계가 함수다.

관계의 성질

성질	조건
반사(reflexive)	모든 x에 (x,x)∈R
대칭(symmetric)	(x,y)∈R이면 (y,x)∈R
반대칭(antisymmetric)	x≠y일 때 (x,y)∈R이면 (y,x)∉R
추이(transitive)	(x,y),(y,z)∈R이면 (x,z)∈R

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📝 정리

함수·수열·관계
├─ 함수    A→B 하나씩 대응 (단사/전사/전단사)
├─ 합성    (g∘f)(a) = g(f(a))
├─ 수열    정의역이 자연수인 함수 {sₙ}
└─ 관계    A×B의 부분집합, 함수는 관계의 특수형
           (반사·대칭·반대칭·추이)

개념	한 줄 정의
정의역/공역/치역	입력 집합 / 출력 후보 / 실제 출력
전단사	일대일 + 전사
수열	정의역이 자연수인 함수
관계	순서쌍들의 집합 (함수의 일반형)

함수·수열·관계는 서로 연결된 개념이다. 함수는 관계의 특수한 경우이고 수열은 함수의 특수한 경우라는 계층을 잡으면, 추상적인 수학 표현도 한결 명확해진다.