[이산수학] 함수2

📌 들어가며

이번 글에서는 여러 종류의 함수(다항·지수·시그모이드·로그)와 스칼라·벡터를 다루며, 이들이 인공지능에 어떻게 활용되는지 살펴본다.

함수란? 입력 변수가 어떤 연산을 거쳐 출력 변수로 나오는 구조. 첫 집합의 한 원소를 두 번째 집합의 오직 한 원소에 대응시키는 관계.

---

1. 여러 함수의 종류

종류	정의	예
단항식	항 하나	2, x, x², x/3
다항식	단항식의 합	3x² + 2
다항함수	다항식으로 된 함수	f(x) = x² + 2x + 3
지수함수	0보다 큰 a의 지수가 변수	aˣ

---

2. 시그모이드 함수 (AI 활용)

로지스틱 시그모이드 함수는 신경망에서 뉴런의 활성을 결정하는 활성함수로 쓰인다.

💡 z에 어떤 실수를 넣어도 0~1 사이 값이 나온다. 그래서 출력을 확률로 해석할 수 있어, 분류 문제에 유용하다.

---

3. 로그함수 (AI 활용)

로그함수는 지수함수를 y=x에 대칭시킨 함수다.

로그의 활용 — 오차율 계산:

💡 (예측값 - 정답)²로 오차를 표현하면 문제가 생긴다. 10↔15와 1000↔1005는 둘 다 25로 같은 오차가 되지만, 실제 의미는 다르다 (10→15는 50% 차이, 1000→1005는 미미). 로그를 붙이면 상대적 차이를 더 정확히 반영할 수 있다.

💡 또한 로그는 중첩된 미분이 필요할 때 계산을 간단하게 만들어준다.

---

4. 스칼라와 벡터

개념	정의
스칼라	크기만 있는 양 (한 번에 하나의 값)
벡터	크기 + 방향으로 표현되는 양 (속도, 힘 / 숫자 여러 개)

입력과 출력 형태에 따른 함수 분류:

다변수 스칼라 함수 시각화 (numpy + matplotlib):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x1 = np.linspace(-2, 2, 20)
x2 = np.linspace(-1, 3, 20)
X1, X2 = np.meshgrid(x1, x2)
Z = 50*(X2 - X1**2)**2 + (2 - X1)**2   # 다변수 → 스칼라

ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot_surface(X1, X2, Z, cmap=plt.cm.binary, edgecolor="k")
plt.show()

💡 변수가 2개면 (상수 c 고정 시) 등고선, 3개면 등고면을 얻는다. 변수 3개 + 상수까지는 4차원이라 시각화할 수 없다.

---

📝 정리

함수2 (AI 활용)
├─ 종류    다항/지수/로그 함수
├─ 시그모이드  출력을 0~1 확률로 (활성함수)
├─ 로그    오차율 표현 개선 + 미분 간소화
└─ 스칼라/벡터  크기만 / 크기+방향

개념	한 줄 정의
시그모이드	값을 0~1로 압축(활성함수)
로그	상대 오차 표현·미분 간소화
스칼라 vs 벡터	크기만 vs 크기+방향

이 함수들은 단순한 수학 개념을 넘어 인공지능의 핵심 부품이다. 시그모이드는 활성함수로, 로그는 손실함수 계산으로 쓰인다. 수학이 어떻게 AI로 연결되는지 보이기 시작하는 지점이다.