[이산수학] 데이터 정리와 확률

📌 들어가며

이번 글에서는 데이터 정리(대푯값·분산·시각화)와 확률(순열·조합·조건부확률·분포)을 인공지능 관점에서 정리한다.

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1. 대푯값 — 평균과 중앙값

대푯값	정의	특징
평균(mean)	모두 더해 개수로 나눔	가장 많이 쓰이나 이상치에 민감
중앙값(median)	크기순 정렬 후 가운데 값	이상치에 강함

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2. 분산 (Variance)

분산: 평균으로부터 퍼짐의 정도를 숫자로 표현.

np.random.seed(0)
scores1 = np.random.randint(30, 100, 10)
scores2 = np.random.randint(50, 90, 10)   # scores1과 평균은 같음

print(scores1.var())   # 분산은 다를 수 있음
print(scores2.var())

💡 평균이 같아도 분산은 다를 수 있다. 분산은 “평균으로부터의 편차를 한 변으로 하는 사각형의 평균 넓이”로도 볼 수 있다.

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3. 데이터 시각화

그래프	용도
히스토그램	데이터를 계급으로 나눠 빈도를 막대로 (bins가 클수록 촘촘)
상자그래프(Boxplot)	사분위수 + 펜스로 이상치를 구분

# Boxplot의 핵심 계산
Q1 = np.percentile(D, 25)
Q3 = np.percentile(D, 75)
IQR = Q3 - Q1                    # 사분위 범위
upper_fence = Q3 + 1.5 * IQR     # 이상치 경계
lower_fence = Q1 - 1.5 * IQR

💡 Boxplot은 Q1 - 1.5·IQR ~ Q3 + 1.5·IQR를 벗어나는 값을 이상치로 표시한다.

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4. 공분산과 상관계수

지표	의미
공분산(covariance)	두 데이터가 함께 퍼지는 정도
상관계수(correlation)	단위와 무관한 상관성 지표 (−1 ~ 1)

부호의 의미:

값	관계
양수	양의 직선 관계 (X↑ → Y↑)
음수	음의 직선 관계 (X↑ → Y↓)
0 근처	직선 관계 없음

⚠️ 공분산이 크다고 관계가 더 강한 건 아니다. 데이터 수치(예: 몸무게를 g으로 표기)가 크면 공분산도 커지기 때문. 그래서 단위 무관한 상관계수를 쓴다.

💡 상관계수는 두 편차 벡터 사이 각의 코사인 값이라, 어떤 수를 넣어도 −1 ~ 1이 된다. (시그모이드가 0~1인 것과 비슷)

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5. 순열과 조합

개념	정의	(a,b)와 (b,a)
순열	n개 중 m개를 일렬로 배열	다름 (순서 O)
조합	순열에서 순서 무시	같음 (순서 X)

💡 조합은 순열에서 순서가 같은 중복을 제거한 것이다.

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6. 확률 분포

조건부 확률

조건부 확률 P(B|A): 사건 A가 일어났을 때 사건 B가 일어날 확률. A를 조건으로 한다.

주요 분포

분포	정의	예
베르누이(Bernoulli)	0 또는 1을 갖는 이진 확률변수	동전 던지기
멀티누이(Multinoulli)	이진 변수의 일반화(벡터 변수)	주사위 던지기
결합확률분포(joint)	두 변수의 동시 확률

💡 멀티누이 분포의 제약: 각 변수의 모든 확률을 더하면 1이다.

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📝 정리

데이터 정리 & 확률
├─ 대푯값   평균(이상치 민감) / 중앙값(강함)
├─ 분산     퍼짐 정도 (평균 같아도 다를 수 있음)
├─ 시각화   히스토그램 / Boxplot(이상치)
├─ 관계     공분산 / 상관계수(-1~1, 단위 무관)
├─ 경우의 수  순열(순서O) / 조합(순서X)
└─ 확률     조건부확률 / 베르누이·멀티누이·결합

개념	한 줄 정의
분산	평균으로부터 퍼짐 정도
상관계수	단위 무관한 상관성 (−1~1)
순열 vs 조합	순서 있음 vs 없음
베르누이	이진 확률변수 분포

데이터 정리와 확률은 머신러닝의 통계적 기반이다. 특히 상관계수가 코사인 값이라 −1~1로 정규화된다는 점, 공분산은 단위에 좌우된다는 점은 데이터 분석의 핵심 통찰이다.